ガンマ分布とベータ分布【統計検定準１級のための数学④】

ベイズ法の勉強をすると，唐突にガンマ分布・ベータ分布に出会います。これらの確率分布に慣れていないせいで，ベイズ法の勉強でつまずいてしまうのは非常にもったいないです。なぜなら，これらはシンプルでよくできたモデルを与えてくれるので，ベイズ法の勉強の端緒として都合がいいからです。本稿を通して，ガンマ分布やベータ分布は恐れるようなものではなく，パラメータを調節することで自在に確率密度関数の形を変えられる便利な確率分布であるということを納得してもらえればうれしいです。

本稿の目的は，ガンマ分布・ベータ分布を解説すること以外にもう１つあり，それはガンマ分布・ベータ分布を理解するために必要な数学を解説することです。【統計検定準１級のための数学】と題した記事では，統計検定２級からスムーズに準１級に進めるように，ギャップをうめるために必要な数学も解説していきます。本稿では，ガンマ分布・ベータ分布に関連して置換積分，ガンマ関数，ベータ関数を解説します。

この記事で前提とする知識は，【中学の数学からはじめる統計検定２級講座】の第３回の確率変数，第４回の期待値と分散，第６回の連続型確率変数，第７回の広義積分，【統計検定準１級のための数学】の②（指数関数）と③（指数分布）の内容になります。これらの内容に不安がある人は，先にそちらの記事を読んでください。

では，はじめていきましょう！

置換積分
ガンマ関数
ベータ関数
ガンマ分布
ベータ分布
参考図書

置換積分

指数分布の記事で紹介した部分積分と同じように，積分を効率的に計算するための方法の１つが置換積分です。次の図のように，被積分関数のf(x)とx＝φ(t)という変数変換のための関数を組み合わせた合成関数f(φ(t))を考えることで，積分を計算しやすく変形します。

xでの積分をtでの積分に置き換える計算では，次の命題のようにφ(t)の微分をかけることに注意します。

命題（置換積分）

関数φ(t)は閉区間[α，β]を閉区間[a，b]に移し，φ(α)＝a，φ(β)＝bであり，C¹級（微分可能で導関数が連続）であるものとする。このとき，連続関数f(x)に対して，次の等式が成り立つ。

（上の命題の証明）f(x)の原始関数の１つをF(x)として，y＝F(x)，x＝φ(t)とおくと，合成関数の微分によって，次の式が成り立ちます。

つまり，上の式の最右辺の原始関数として，F(φ(t))をとることができるので，次のように置換積分の公式が示せます。

（証明終わり）

ということで，置換積分の公式は合成関数の微分を使うと証明できますが，証明よりも使えることが大事です。そこで，次の問題を解いてみましょう。

【問題】次の定積分の値を求めなさい。

【解答】この定積分は，置換積分を使わずにそのまま計算できますが，ここでは練習のためx＝t²と置換して計算してみます。この変換によって，次の表のようにx＝０とt＝０，x＝９とt＝３がそれぞれ対応していることに注意します。

上の命題と見比べると，φ(t)＝t²になっているので，（被積分関数にt²を代入した関数）×（t²を微分して得られる2t）dtと変形して，次のように求められます。

冒頭で断ったように，この積分は置換積分を使わずに計算できます。実際に計算してみると，次の通りです。

確かに同じ結果になりましたね。

（解答終わり）

置換積分に慣れるために，定積分の計算をもう１つやってみましょう。

【問題】次の定積分の値を求めなさい。

【解答】この定積分も置換積分を使わずに計算できますが，ここでは3xー4＝tと置換して計算してみます。この変換によって，次の表のようにx＝2とt＝2，x＝3とt＝5がそれぞれ対応していることに注意します。

次に，dxとdtの置き換えですが，上の命題と無理に合わせると，次のようにxについて解いてから右辺をtで微分することになります。

しかし，実はxについて解く手間は必要ありません。dxとdtの関係式は，xの微小な変化量とtの微小な変化量の対応関係を示しています。次の図を見てください。

tをxで表した式の変化の割合（直線の傾き）が３なので，t方向の変化量はx方向の変化量の３倍になります。よって，dt＝3dxが成り立つのです。これを形式的に計算するには，3xー4＝tの左辺をxで微分し，右辺をtで微分して，左辺にはdxを，右辺にはdtを追加すれば，3dx＝dtが得られます。つまり，置換積分は次の３つのステップを実施することで計算できます。

積分範囲を対応させる
被積分関数の変数をおきかえる
微小量をおきかえる

よって，定積分の値は次のように求められます。

（解答終わり）

ガンマ関数

ガンマ分布を述べるための準備として，ガンマ関数を説明していきます。まず，ガンマ関数を定義します。x＞０のとき，正の実数tに対して次の式で定義される関数f(t)を考えます。

関数f(t)は（０，∞）で広義積分可能（証明が知りたい人は参考図書①を見てください）なので，ガンマ関数を次のように定義します。

f(t)＞０より，Γ(x)＞０です。ちなみに，ガンマとは，アルファベットの”c”に対応するギリシャ文字であり，”Γ”という記号で表されます。Γ(x)の式を見て「右辺の積分は計算しないの？」と思うかもしれませんが，被積分関数が多項式の場合とは異なり，積分結果を簡単な形で表すことができないため，上の式のように定義します。右辺はtで積分しているので，「積分した結果」にtは含まれず，xだけの関数になります。

ガンマ関数が何やら得体のしれない積分で定義されてしまいましたが，「ガンマ関数とは何者なのか」に対する１つの回答は「階乗の一般化」と言うことができます。このように言える理由は，次の式からわかります。

上の式は指数分布の記事（リンクはこちら）で解説した部分積分を使うことで次のように示すことができます。

さて，この性質から，nを自然数としてΓ(n)＝(nー１)！を示すことができます。まず，次のnー１本の式が成り立ちますよね。

上の矢印のように，次々に代入していくと，次のようになります。

ここで，Γ(1)の値は，次のように計算できます。

よって，Γ(n)は(nー１)！と一致します。これが「階乗の一般化」と言える理由で，ガンマ関数を使えば，自然数以外の数に対しても「階乗のようなもの」を考えることができます。特に，次の値は統計学でもよく使いますので知っておくといいでしょう。

上の値は，次のセクションで紹介するガンマ関数とベータ関数の関係式を使うと，比較的簡単に求められます。

ベータ関数

名前から察しがつくと思いますが，ベータ分布を定義するために必要なものがベータ関数です。まずは定義からはじめます。x＞０，y＞０のとき，0＜t＜1に対して次の式で定義される関数g(t)を考えます。

関数g(t)は（０，１）で広義積分可能（詳細は参考図書①を見てください）であり，ベータ関数を次のように定義します。

g(t)＞０より，B(x，y)＞０です。ちなみに，ベータはアルファベットの”B”に対応するギリシャ文字です。

ベータ関数もガンマ関数と同じく，上の式の右辺は「積分した結果」をよく知る関数で簡単に表示することができないため，積分の形で定義します。右辺はtで積分しているので，「積分した結果」にtは含まれず，xとyの２変数関数になります。

この２つの変数xとyは，次の式が成り立つという意味での対称性を持ちます。

これが成り立つことを示すには，t＝１ーsによって変数変換します。実際に計算してみると，dt＝ーdsに注意して，次のようになります。

また，次の値は後で使うので覚えておいてください。

さて，実は，ガンマ関数とベータ関数の間には，次の関係式が成り立ちます。

上の関係式が成り立つことの証明を知りたい人は，参考図書①を見てください。この関係は非常に大切なので，結果だけは覚えましょう。せっかくなので，この関係を使って，自然数m，nに対して次の等式が成り立つことを証明しておきます。

これは，高校数学範囲の積分を計算するときに重宝する公式であり，m＝n＝１のときには，俗に６分の１公式と呼ばれる次の式になります。

では，証明していきます。まず，次の変数変換を考えます。

この変換によって，次の表のようにx＝αとt＝０，x＝βとt＝１がそれぞれ対応していることに注意します。

また，変数変換の式の両辺の微分を考えることにより，次の微小量の間の関係が成り立ちます。

よって，示すべき式の左辺は次のように変形できます。

ここで，ガンマ関数とベータ関数の関係式と，自然数m，nに対するガンマ関数の値が階乗で表せることを使うと，示したかった式は次のように導くことができます。

ガンマ分布

まず，指数分布の記事で登場した次の図を思い出すところからはじめてみましょう。

緑の点は魚が釣れた時刻を表しているのでしたね。そして，１匹の魚が釣れてから，次の１匹が釣れるまでの時間がしたがう確率分布が指数分布でした。実は，指数分布自体もガンマ分布の一種であり，上の例で魚釣りをはじめてからn匹目の魚が釣れるまでの時間がしたがう確率分布もガンマ分布の一種なのです。つまり，独立に同じパラメータの指数分布にしたがう確率変数の和がしたがう確率分布はガンマ分布（この場合のガンマ分布は別名アーラン分布と言います）になります。

ガンマ分布は（０，∞）上の連続型確率分布で，２つのパラメータ（本稿ではa，bで表す）を持っており，このパラメータを調節することで，指数分布やアーラン分布を含むさまざまな分布を表現できます。では，ガンマ分布を定義します。a＞０，b＞０に対して，確率変数Xの確率密度関数が次の式で表せるとき，Xがしたがう確率分布をガンマ分布と言います。

Xがパラメータa，bのガンマ分布にしたがうことを，本稿では次のように表すことにします。

f_X(x)の式をいきなり見せられてもサッパリわかりませんよね。ガンマ分布の雰囲気をつかむために，特殊な場合を考えてみましょう。上の確率密度関数にa＝１を代入すると，Γ(1)＝１であることから，次の式になります。

これは，b分の１をパラメータとする指数分布です。確かに，指数分布はガンマ分布の特殊な場合になっていました。次に，上の確率密度関数にa＝２を代入すると，Γ(２)＝１であることから，次の式になります。

係数b²分の１以外の主要な部分はxと指数関数の積になっていますが，xを０から大きくしていくと，指数関数の値はどんどん０に近づいていきます。xの値が０に近いときには，xの値が大きくなるにつれて，指数関数が積を小さくする効果よりもxが積を大きくする効果が勝りますが，xが十分に大きくなってからは指数関数が積を小さくする効果が勝って，確率密度関数の値は０に近づいていきます。実際に，a＝２，b＝１とすると，ガンマ分布の確率密度関数のグラフは，次の図の青い曲線になります。

このように，aはグラフの形を決めているので，形状母数と呼ばれます。一方で，上の図の赤い曲線は，a＝２，b＝0.5の場合を表していて，グラフのピークが高くなっています。bの値を小さくすると，確率密度関数の係数の値が大きくなってピークが高くなり，指数関数の部分が速く０に近づきやすくなるため，上の図の赤い曲線のように，尖った形になります。このように，bの値はスケールをコントロールしているので，尺度母数と言います。

では，f_X(x)が確率密度関数であることを確かめましょう。f_X(x)≧０であることは，Γ(a)＞０と定義から明らかなので，（０，∞）で積分して１になることを示します。そのために，f_X(x)において次の変数変換を行います。

変数をyにおきかえても積分範囲は変わらず，dy＝(1/b)dxとなるので，f_X(x)の（０，∞）での積分は次のように計算できます。

これで，f_X(x)が確率密度関数であることがわかりました。いまの計算からわかる通り，確率密度関数の係数の分母にあるΓ(a)は積分が１になるようにするためのものです。

次に，ガンマ分布の期待値を計算してみましょう。確率変数Xがガンマ分布Ga(a，b)にしたがうとして，Xの期待値は次のように計算できます。

上の計算では，２行目から３行目の変形で，次の関係を使っています。

また，３行目の積分の被積分関数はパラメータa＋1，bのガンマ分布の確率密度関数になっているので，積分すると１になります。積分を直接的に計算することを避けて，ガンマ分布の確率密度関数に帰着できるように変形しました。

期待値は２つのパラメータの積になりましたね。何らかの分布をガンマ分布でモデリングしたい場合には，その分布の平均を利用してパラメータの見当をつけることができます。例えば，平均が10の分布をガンマ分布でモデリングするなら，ab＝10になるようなaとbを選びますよね。a＝２，b＝5とすると次の図の青い曲線のようにピークの位置が左に寄り，a＝５，b＝２とすると次の図の赤い曲線のようにピークの位置が右に寄ります。平均と分布の左右の偏り具合をもとにしてパラメータを調整できるわけです。

次に，分散を計算するためにXの２乗の期待値を次のように計算します。

上の計算でも，２行目から３行目の変形で，次の関係を使っています。

また，３行目の積分の被積分関数はパラメータa＋2，bのガンマ分布の確率密度関数になっていることを利用しています。よって，分散は次のように計算できます。

さて，ガンマ分布の性質をもう１つだけ紹介して，このセクションを締めくくります。指数分布（ガンマ分布の一種）にしたがう確率変数の和がアーラン分布（ガンマ分布の一種）にしたがうことはすでに書いた通りですが，それをより一般的に述べたものがガンマ分布の再生性という性質です。２つの確率変数X，Yがそれぞれ独立に次のガンマ分布にしたがっているとします。

このとき，X＋Yは次のガンマ分布にしたがいます。

この再生性の証明が知りたい人は，参考図書②を参照してください。

ベータ分布

ベータ分布は，二項分布B(n，p)との関連が深いです。B(n，p)のpがわかっている場合は統計検定２級の範囲で処理できますが，pが不明の場合にはp自体がどういう確率分布になるのかを考えることになります。そのためには，(0，1)上の連続型確率分布が必要ですが，それに該当するものは，統計検定２級まででは(0，1)上の一様分布しか学習していませんでした。一様分布は，その名の通り確率密度が一様に分布するので，使える場面が限定されます。そこで，(0，1)上の連続型確率分布であって，パラメータを調整することで，確率密度関数のグラフがさまざまな形状をとりうるようなものがあると便利です。それがベータ分布です。

a＞０，b＞０に対して，確率変数Xの確率密度関数が次の式で表せるとき，Xがしたがう確率分布をベータ分布と言います。